来看一道高考题(2010 全国新标卷):

设函数 $f(x)=e^x-1-x-ax^2$
(1) 若 $a=0$，求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 当 $x \geqslant 0$ 时 $f(x) \geqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围。

直接看第(2)问，我们分离参数得:

$a \leqslant \frac{e^x-x-1}{x^2}$

设 $g(x)$:

$g(x) = \frac{e^x-x-1}{x^2}$

对 $g(x)$ 求导，可得:

$g'(x)=\frac{x^2(e^x-1)-2x(e^x-x-1)}{x^4}$

令分子等于 $0$，解得:

$x=0$

但是当我们把 $x=0$ 代入 $g(x)$ 得:

$g(0) = \frac{0}{0}$

这显然不存在。但是这时可以用洛必达法则直接求出 $a$ 的取值范围。根据洛必达法则:

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+}g(x) & = \lim_{x \to 0^+}\frac{e^x-x-1}{x^2} \\ & = \lim_{x \to 0^+}\frac{(e^x-x-1)'}{(x^2)'} \\ & = \lim_{x \to 0^+}\frac{e^x-1}{2x} \\ & = \lim_{x \to 0^+}\frac{e^x}{2} \\ & = \frac{1}{2} \end{aligned}$

所以

$a \leqslant \frac{1}{2}$

注意：只有当 $g(x_0)=\frac{0}{0}$ 或 $g(x_0)=\frac{\infin}{\infin}$ 时，才能使用洛必达法则。

再来看一道题：

$kx\geqslant \frac{\sin x}{2+\cos x} (x>0)$

分参得：

$k\geqslant \frac{\sin x}{x(2+\cos x)}$

设 $g(x)$:

$g(x) = \frac{\sin x}{x(2+\cos x)}$

求导:

$g'(x) = \frac{x-2 \sin x-(\sin x-2 x) \cos x}{x^2 (\cos (x)+2)^2}$

令 $0$, 解得:

$x = 0$

代入得:

$g(0) = \frac{0}{0}$

由洛必达法则:

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} g(x) & = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x(2+\cos x)} \\ & = \frac{\cos x}{-x \sin x+\cos x+2} \\ & = \frac{1}{3} \end{aligned}$

故

$k \leqslant \frac{1}{3}$

以上。

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悄悄放首歌。